复习#

核心问题：

• 余子式 $M_{ij}$ 与代数余子式 $A_{ij}$ 有何区别？
• 引理：某行只剩一个非零元时，行列式等于什么？
• 定理①（按行/列展开法则）怎么证明？
• 推论①（异乘变零）为什么成立？
• 计算行列式的五招：降阶 / 行和相等 / *爪型 / *加边 / *归纳？
• *范德蒙德行列式的结果是什么？

一、基本概念：余子式 vs 代数余子式#

核心要点

在 $n$ 阶行列式 $D = \det(a_{ij})$ 中：

• 余子式 $M_{ij}$：划去第 $i$ 行、第 $j$ 列后，剩下的 $n-1$ 阶行列式（保持原有相对位置）
• 代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$：在余子式前面再乘一个符号因子

两者的区别：$A_{ij}$ 比 $M_{ij}$ 多了 $(-1)^{i+j}$。
这个符号按”棋盘”分布：

即 $(-1)^{i+j}$：行列下标之和为偶数取 $+$，奇数取 $-$。

三阶例子：

• $M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \times 9 - 6 \times 8 = -3$（划去第 1 行第 1 列）
• $A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = -3$
• $M_{12} = \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 36 - 42 = -6$，而 $A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = +6$

常见错误

1. 把 $M_{ij}$ 和 $A_{ij}$ 混用

注意！展开公式里用的永远是代数余子式 $A_{ij}$

2. 符号因子手算时容易漏，$(-1)^{i+j}$ 只看行列下标之和的奇偶，与元素数值无关
3. 余子式 $M_{ij}$ 里不含原行列式第 $i$ 行、第 $j$ 列的任何元素

二、引理：零行（列）直接展开——降阶法的理论依据#

核心要点

引理：若行列式的某一行（列）中，除了 $a_{ij}$ 这个数，其余元素全为 $0$，则

$$D = a_{ij} \times (-1)^{i+j} \times M_{ij} = a_{ij} A_{ij}$$

即：此时行列式就等于这个数乘上它的代数余子式。

*证明（用上次笔记的换行性质）

以”第 $i$ 行只有 $a_{ij}$ 非零”为例：

1. 把第 $j$ 列与它前面的列依次交换，移到第 1 列，共交换 $j-1$ 次；
2. 把第 $i$ 行与它上面的行依次交换，移到第 1 行，共交换 $i-1$ 次；
3. 总共交换 $(j-1) + (i-1) = i+j-2$ 次，每交换一次变一次号，共变号 $(-1)^{i+j-2} = (-1)^{i+j}$（因 $-2$ 为偶数，与 $(-1)^{i+j}$ 同号）；
4. 得到的新行列式第 1 行第 1 列为 $a_{ij}$，第 1 行、第 1 列其余全为 0，按定义它等于 $a_{ij}$ 乘以右下角那个 $n-1$ 阶行列式——而右下角恰好就是 $M_{ij}$。

$$D = (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, M_{ij} = a_{ij} A_{ij} \qquad \blacksquare$$

核心要点

这个引理就是降阶法的灵魂：只要把某一行（列）化到只剩一个非零元，行列式立刻降一阶，计算量从 $n!$ 量级直线下滑。

三、定理：行列式按行（列）展开法则⭐️#

核心要点

定理①：行列式等于它的任意一行的每个元素与其自己的代数余子式乘积之和：

$$D = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij} \quad (\text{按第 } i \text{ 行展开})$$

对列同理：$D = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$（按第 $j$ 列展开）。

*证明思路

按第 $i$ 行把行列式拆开，
用的是上次笔记的分拆性质：某一行可以拆成两组之和，行列式等于两个行列式之和。

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+0+\cdots+0 & \cdots & 0+\cdots+a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j=1}^{n} \begin{vmatrix} \text{原行列式，但第 } i \text{ 行只有第 } j \text{ 列是 } a_{ij}，\text{其余为 } 0 \end{vmatrix}$$

每一个拆出来的行列式，第 $i$ 行都只剩一个非零元 $a_{ij}$——正好套用引理：

$$\text{每个} = a_{ij} A_{ij} \quad \Longrightarrow \quad D = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij} \qquad \blacksquare$$

拆分 → 引理 → 求和，这个”递”的过程就是从引理到定理的完整推导链。

四、推论：异乘变零#

核心要点

推论①：某一行（第 $i$ 行）的元素，乘上另一行（第 $k$ 行，$k \neq i$）对应元素的代数余子式，之和恒为 0：

$$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{kj} = 0 \qquad (i \neq k)$$

把定理①和推论①合起来记：

$$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{kj} = \begin{cases} D, & i = k \ \text{（自己的行乘自己的代数余子式）} \\ 0, & i \neq k \ \text{（异乘变零）} \end{cases}$$

*证明（构造法，经典）

把原行列式 $D$ 的第 $k$ 行元素整体替换成第 $i$ 行的元素，其余行不动，得到新行列式 $D'$：

• 一方面，$D'$ 的第 $k$ 行与第 $i$ 行完全相同 → 两行相同 → $D' = 0$（上次笔记的换行性质推论）
• 另一方面，把 $D'$ 按第 $k$ 行展开（用定理①）：$D' = \sum_j a_{ij} A_{kj}$

关键一步：$D'$ 中第 $k$ 行元素的代数余子式 $A_{kj}$，只依赖于原行列式第 $k$ 行以外的元素——替换第 $k$ 行根本不改变它们，所以 $D'$ 展开时的 $A_{kj}$ 与原行列式的 $A_{kj}$ 完全相同。

两方面结合：$\sum_j a_{ij} A_{kj} = D' = 0$。$\blacksquare$

注意

“异乘变零”成立的关键前提：

1. 乘的必须是代数余子式（若换成余子式 $M_{kj}$，结论不成立）
2. 必须是不同行（列）：$i = k$ 时和恰好等于 $D$ 而不是 0
3. 考试常考反向操作：把某一行全换成 1，新行列式的值 = 该行代数余子式之和 $\sum_j A_{ij}$（因为 $1 \cdot A_{i1} + 1 \cdot A_{i2} + \cdots$，1 消失）

小例(反向运用)：$\sum_{j=1}^{3} a_{1j} A_{2j} = 0$ ,求 $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$ 中 $A_{21}+A_{22}+A_{23}$，只需把第 2 行换成 $(1,1,1)$ 算新行列式：$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\1&1&1\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$，比逐个算代数余子式快得多。

五、计算方法#

六、*五大方法怎么选（考研要注意⚠️）#

注意

选择顺序的一般经验：先看零多不多（直接降阶）→ 再看行和 → 再看形状像不像爪 → 结构自相似才上归纳法。四招里”造 0”是共同的前置动作，消法性质（某行乘 k 加到另一行，值不变）永远是最安全的手术刀。

七、本讲知识链回顾#

1
余子式 Mij ＋ 符号 (−1)^{i+j} → 代数余子式 Aij
2
    ↓ 引理：某行只剩一个非零元 → D = aij·Aij（降阶法依据）
3
    ↓ 定理①：D = Σ aij·Aij（分拆 + 引理"递"出来）
4
    ↓ 推论①：Σ aij·Ajk = 0 (i≠k)（构造两行相同的行列式）
5
    ↓ 实战四招：降阶 / 行和相等 / 爪型 / 加边
6
    ↓ 范德蒙德 = 数学归纳法的降阶递推典范

核心要点

与上次笔记的衔接：本讲的每一步证明都只用了三件旧工具——换行变号、分拆性质、消法性质。行列式这套性质体系是自洽的：性质 → 引理 → 定理 → 推论 → 方法，链条完整，没有跳步。下次大概率讲伴随矩阵与逆矩阵（$AA^* = |A|E$），代数余子式正是伴随矩阵的原材料。