数制、编码与逻辑门

复习#

核心问题：

数字电路与模拟电路
二进制、十进制、十六进制
BCD码
*格雷码的定义与二进制 -> 格雷码
原码、反码、补码
逻辑门：基本、三态门（TS）、OC门

Q&A#

数字电路与模拟电路的定义和区别
 二进制、十进制、十六进制之间的转换
 BCD码的编码与表示方法
 *格雷码的定义与二进制 -> 格雷码
 原码、反码、补码的定义与相互转换
 逻辑门：基本、三态门（TS）、OC门，是什么？怎么画？有什么用？

一、基础概念#

电源负端接地#

电源负端接地，电位为 $0V$ ，作为参考地（GND）。电路中所有节点的电压都是相对于这个参考地来测量的。

核心要点
接地的本质是定义一个零电位参考点，而非”电流流向地”。电流回到电源负端，接地只是让负端电位固定为 0。

数字电路 vs 模拟电路#

对比项	模拟电路	数字电路
信号	连续变化（如正弦波）	离散（0 和 1）
抗干扰	弱，噪声会叠加在信号上	强，只需区分高低电平
精度	受元器件限制	可通过增加位数提升
典型应用	放大器、滤波器	计算机、计数器、存储器

二进制位权与运算#

位权： 二进制数中每一位的权值为 $2^{n-1}$ （从右往左，第 $n$ 位）。

(1011)_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = (11)_{10}

二进制运算：

加法： $1+0=1$ ， $0+1=1$ ， $0+0=0$ ， $1+1=10$ （进位）
减法： $0-1=1$ （借位）
乘法：类似十进制， $1 \times 1 = 1$ ，其余为 0
除法：移位 + 减法

不同进制转换#

二 → 十： 按位权展开求和。

十 → 二： 除 2 取余，逆序排列。

1
11 ÷ 2 = 5 ... 1
2
 5 ÷ 2 = 2 ... 1
3
 2 ÷ 2 = 1 ... 0
4
 1 ÷ 2 = 0 ... 1
5
逆序读：1011

二 ↔ 十六： 每 4 位二进制对应 1 位十六进制。

(1011\;0110)_2 = (B6)_{16}

二、编码方式#

BCD 码（8421 码）#

用 4 位二进制表示 1 位十进制数字，权值依次为 $8, 4, 2, 1$ 。

十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
BCD	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

注意
BCD 码只用 $0000 \sim 1001$ （0~9）， $1010 \sim 1111$ （A~F）在 BCD 中无效。BCD 码不是纯二进制， $(19)_{10}$ 的 BCD 是 $0001\;1001$ ，而非 $(10011)_2$ 。

*格雷码（Gray Code）#

相邻两个数之间只有一位发生变化的编码，常用于减少多位同时跳变带来的毛刺和竞争冒险。

十进制	二进制	格雷码
0	000	000
1	001	001
2	010	011
3	011	010
4	100	110
5	101	111
6	110	101
7	111	100

二进制 → 格雷码转换： 最高位不变，之后每一位 $G_i = B_i \oplus B_{i+1}$ （前一位异或当前位）。

原码、反码、补码#

以 8 位有符号整数为例，最高位为符号位（0 正 1 负）：

编码	+5	-5	说明
原码	00000101	10000101	直接表示符号+绝对值
反码	00000101	11111010	负数：符号位不变，其余取反
补码	00000101	11111011	负数：反码 + 1

核心要点

计算

正数：原码 = 反码 = 补码

负数：补码 = 反码 + 1

计算机中统一使用补码存储有符号整数，这样加法和减法可以用同一套电路完成

补码的补码 = 原码（可用来求原码）

为什么用补码
补码的本质是模运算。以 8 位为例，模为 $2^8 = 256$ ， $-5$ 的补码就是 $256 - 5 = 251 = (11111011)_2$ 。
这样 $5 + (-5) = 00000101 + 11111011 = 1\;00000000$ ，溢出位丢弃后为 0，加法电路直接搞定减法。

常见错误

0 的补码只有一个： $00000000$ （不像原码有 +0 和 -0）

$-128$ 的补码是 $10000000$ ，它没有对应的原码和反码（8 位原码范围是 $-127 \sim +127$ ）

三、逻辑门#

基本逻辑门#

门	表达式	真值规则	符号
与 (AND)	$Y = A \cdot B$	全 1 才 1	$\wedge$
或 (OR)	$Y = A + B$	有 1 即 1	$\vee$
非 (NOT)	$Y = \overline{A}$	取反	$\neg$
与非 (NAND)	$Y = \overline{A \cdot B}$	与的否定	↑
或非 (NOR)	$Y = \overline{A + B}$	或的否定	↓
异或 (XOR)	$Y = A \oplus B$	不同为 1	$\oplus$
同或 (XNOR)	$Y = \overline{A \oplus B}$	相同为 1	$\odot$

核心结论

与非门（NAND）和或非门（NOR）是万能门，可以组合出任意逻辑函数

与非门 = 与 + 非，或非门 = 或 + 非

三态门（TS 门）#

三态门在普通逻辑门的基础上增加了一个使能端（EN），输出有三种状态：

EN	输出
1	正常逻辑输出（0 或 1）
0	高阻态（Z）

核心要点
高阻态（High-Z）不是高电平也不是低电平，而是电气断开状态，相当于该输出端与总线断开。
这正是三态门能用于总线传输的关键：多个器件共享一条总线，通过 EN 控制谁在输出，同一时刻只有一个器件使能，其余处于高阻态，避免冲突。

📝 待插图 - 等课件
画总线结构图：多个三态门挂在同一条总线上，每个 EN 由控制器控制，同一时刻只有一个 EN=1，其余 EN=0（高阻态）。

双向传输： 通过两组方向相反的三态门 + EN 控制器，可以实现总线上双向数据传输：

EN=1 时，数据从 A → B 传输
EN=0 时，数据从 B → A 传输

📝 待插图 - 等课件
画双向传输电路：两个三态门反向并联在 A、B 之间，各自 EN 由控制器反相控制。

OC 门（集电极开路门）#

OC 门的输出级晶体管集电极开路，需要外接上拉电阻才能输出高电平。

核心要点

OC 门输出低电平时，晶体管导通，输出 = 0

OC 门输出高电平时，晶体管截止，输出由上拉电阻拉高为 1

多个 OC 门输出端可以线与（Wire-AND）：直接连在一起，只要有一个输出低，总输出就为低

注意
OC 门必须接上拉电阻，否则输出高电平时是悬空（浮空）状态，逻辑不确定。

📝 待插图 - 等课件
画 OC 门电路：内部晶体管集电极开路，外部接上拉电阻到 Vcc，再画多个 OC 门线与的连接方式。