行列式定义与基本性质

复习#

核心问题：

对角线法则（求解行列式）、克拉默法则（求解线性方程组）：二阶行列式、三阶行列式
逆序的概念
n阶行列式
行列式的性质

Q&A#

对角线法则
 克拉默法则
 逆序怎么算？性质？
n阶行列式展开到底是什么？每项正负怎么确定？
行列式的性质：转置、换行、倍法、分拆、消法

二阶行列式#

定义：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

红色为主对角线，取正；蓝色为副对角线，取负：

克拉默法则（二元线性方程组）#

对于二元线性方程组：

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

令 $D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ ，则：

x = \frac{D_1}{D} = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{D_2}{D} = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}

要点
$D_1$ 是把 $D$ 的第 1 列换成常数项， $D_2$ 是把第 2 列换成常数项。

注意
当 $D = 0$ 时，方程可能无解或有无穷多解。

三阶行列式#

定义：

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

展开式（对角线法则 / Sarrus 法则）：

D = \underbrace{(a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32})}_{\text{主方向和（正）}} \;-\; \underbrace{(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32})}_{\text{副方向和（负）}}

📝 待插图
三阶 Sarrus 法则：将前两列复制到右侧辅助连线，3 条主对角线标红 $+$ ，3 条副对角线标蓝 $-$ 。

克拉默法则（三元线性方程组）#

对于三元线性方程组：

\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}

令 $D$ 为系数行列式， $D_i$ 为把第 $i$ 列换成常数项后的行列式，则：

x = \frac{D_1}{D}, \quad y = \frac{D_2}{D}, \quad z = \frac{D_3}{D}

其中：

D_1 = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_2 = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_3 = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}

注意
当 $D = 0$ 时，方程可能无解或有无穷多解。

逆序数#

定义： 排列 $a_1 a_2 a_3 \dots a_{n-2} a_{n-1} a_n$ 的逆序数记为 $\tau(a_1 a_2 a_3 \dots a_n)$ ，表示排列中前面的数大于后面的数的对数。

若排列为正序（如 $1\,2\,3\,\dots\,n$ ）： $\tau = 0$
若排列为全逆序（如 $n\,\dots\,3\,2\,1$ ）： $\tau = \dfrac{n(n-1)}{2}$

📝 待插图
逆序数计数示例：以排列 $3\;1\;2$ 为例，用弧线标出逆序对 $(3,1)$ 和 $(3,2)$ ，展示 $\tau = 2$ 。

性质：一次互换改变奇偶性#

经过一次互换（交换排列中任意两个数），奇排列 $\rightleftharpoons$ 偶排列。

证明

若 $i, j$ 相邻： 互换后 $\tau$ 加 1 或减 1，改变一次奇偶性。

若 $i, j$ 中间隔着 $s$ 个数：

$i$ 往 $j$ 方向移动 $s$ 次（每次与相邻元素互换）

$i, j$ 互换 1 次

$j$ 往反方向移动 $s$ 次

总互换次数 $= 2s + 1$ （奇数次）

$\Rightarrow$ 必定改变奇偶性。

📝 待插图
互换证明示意：展示 $i$ 和 $j$ 间隔 $s$ 个数时， $i$ 逐步移动到 $j$ 位置的过程，标注总次数 $2s+1$ 。

n 阶行列式#

核心要点

每行/列各选一个元素相乘，作为一项

n 阶行列式的项数为 $n!$

每一项的正负由列下标排列的逆序数决定： $(-1)^\tau$

\text{每项正负} = (-1)^{\tau}, \quad \begin{cases} \tau \text{ 为偶} \to \text{正} \\ \tau \text{ 为奇} \to \text{负} \end{cases}

计算步骤：

先调整行的排列为正序（即按行下标 $1, 2, \dots, n$ 排列）
再看列的排列的逆序数 $\tau$ ， $(-1)^\tau$ 即为该项符号

📝 待插图
n 阶行列式展开路径：以 4×4 矩阵为例，标出从每行选一个元素、列不重复的一条选取路径。

例题#

\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & a_{14} \\ 0 & 0 & a_{23} & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 & 0 \\ a_{41} & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}

取非零项： $a_{14} \cdot a_{23} \cdot a_{32} \cdot a_{41}$

行排列： $1, 2, 3, 4$ （正序， $\tau_{\text{行}} = 0$ ）
列排列： $4, 3, 2, 1$ （全逆序， $\tau_{\text{列}} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ ）
$6$ 为偶数 $\Rightarrow (-1)^6 = +1$ ，该项为正

\therefore \text{原式} = a_{14} \cdot a_{23} \cdot a_{32} \cdot a_{41}

行列式的性质#

性质 1：转置#

行与列互换（转置），行列式值不变。

D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}, \quad D^T = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}, \quad D = D^T

性质 2：换行（行交换）#

任意两行（列）交换，行列式加一个负号。

D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}, \quad D_1 = \begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}, \quad D = -D_1

推论
若两行（列）相同，则行列式 $= 0$ ；两行（列）成比例，也为 $0$ 。

性质 3：倍法（行倍乘）#

某一行（列）乘以常数 $k$ ，行列式值也乘以 $k$ 。

D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}, \quad D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 \times 4 & 2 \times 5 & 2 \times 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 2D

性质 4：分拆（行拆分）#

某一行（列）可拆分为两行之和，其余行不变。

D = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ x_1 + y_1 & x_2 + y_2 & x_3 + y_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

性质 5：消法（行倍加）#

某行乘以 $k$ 后加到另一行上，行列式值不变。

D = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 + ka_1 & b_2 + ka_2 & b_3 + ka_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

性质总结#

性质	一句话	公式表达
转置	行列互换，值不变	$D = D^T$
换行	两行交换，加负号	$D = -D_1$
倍法	某行 $\times k$ ，值 $\times k$	$D_1 = kD$
分拆	一行拆为两行之和	$D = D_x + D_y$
消法	某行 $\times k$ 加到另一行，值不变	$D$ 不变

核心结论
消法性质是计算行列式的核心工具——通过消法将行列式化为上三角，此时行列式 $=$ 主对角线元素之积。