定义#

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

1. 当 $x \to a$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 都是无穷大（或无穷小）；
2. 在点 $a$ 的去心邻域内，$f(x)$ 和 $g(x)$ 都可导，且 $g'(x) \neq 0$；
3. $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大）；

则

实践注意#

1. $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$ 是不定式的基本型，可直接开洛；其他五种需先化为基本型，才能用。
2. 开洛之前，往往要先对式子变形，如 变量代换、等价无穷小替换、拆项 等。
3. 洛完之后，应尽可能分离那些极限容易确定且 $\neq 0$ 的因子部分，为后续再洛或运用其他方法作准备。
4. 利用 Heine 定理（海涅）（归结原理）求数列极限时，也常结合 L’Hospital 法则。
   
   海涅定理.md

   Heine 定理（海涅）· 归结原理：

   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$$

   成立，当且仅当对任意满足 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = +\infty$ 的数列 $\{x_n\}$，都有

   $$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A.$$

   或

   $$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$$

   成立，当且仅当对任意满足 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0 \ (x_n \neq x_0)$ 的数列 $\{x_n\}$，都有

   $$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A.$$

   讲人话

   即：函数极限存在 $\Longleftrightarrow$ 其任意子数列的极限都存在且等于同一极限值
   （总数列的极限也是子数列的极限，且趋近点相同）

   常与 洛必达法则 结合求数列极限