泰勒展开 - Entropy

\begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} &&= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots, \\ \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \\ \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \\ \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} &&= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \\ (1+x)^{\alpha} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n, \\ \arctan x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots. \end{aligned}

以 $\sin x$ 为例，公共多项式部分仍展到 $x^{2n+1}$ 阶，但余项改用拉格朗日形式。泰勒公式的结构永远是：“公共多项式 + 拉格朗日余项”。

\sin x = \underbrace{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}}_{\text{公共多项式部分}} + \underbrace{\frac{(-1)^{n+1}\sin\xi}{(2n+2)!}x^{2n+2}}_{\text{拉格朗日余项}}

其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。

原理：

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

即得： $R_{2n+1}(x) = \frac{(-1)^{n+1}\sin\xi}{(2n+2)!}x^{2n+2}$ （在 $x_0=0$ 处展开）。

⚠️ 易错点提醒：千万不要把公共多项式的最后一项和拉格朗日余项混在一起写！多项式部分长什么样，取决于你展开到几阶；余项永远比多项式多一阶。