极限、函数与连续

$\dfrac{0}{0}$ 、 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 是不定式的基本型，可直接开洛；其他五种需先化为基本型，才能用。
开洛之前，往往要先对式子变形，如变量代换、等价无穷小替换、拆项等。
洛完之后，应尽可能分离那些极限容易确定且 $\neq 0$ 的因子部分，为后续再洛或运用其他方法作准备。
利用 Heine 定理（海涅）（归结原理）求数列极限时，也常结合 L'Hospital 法则。

海涅定理.md
Heine 定理（海涅）· 归结原理：
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$
成立，当且仅当对任意满足 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = +\infty$ 的数列 $\{x_n\}$ ，都有
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A.$
或
$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$
成立，当且仅当对任意满足 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0 \ (x_n \neq x_0)$ 的数列 $\{x_n\}$ ，都有
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A.$
讲人话
即：函数极限存在 $\Longleftrightarrow$ 其任意子数列的极限都存在且等于同一极限值
（总数列的极限也是子数列的极限，且趋近点相同）
常与洛必达法则结合求数列极限

利用 Taylor 公式#

泰勒展开.md

六大标准展开式#

\begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} &&= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots, \\ \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \\ \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \\ \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} &&= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \\ (1+x)^{\alpha} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n, \\ \arctan x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots. \end{aligned}

带拉格朗日余项#

以 $\sin x$ 为例，公共多项式部分仍展到 $x^{2n+1}$ 阶，但余项改用拉格朗日形式。泰勒公式的结构永远是：“公共多项式 + 拉格朗日余项”。

\sin x = \underbrace{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}}_{\text{公共多项式部分}} + \underbrace{\frac{(-1)^{n+1}\sin\xi}{(2n+2)!}x^{2n+2}}_{\text{拉格朗日余项}}

其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。

原理：

$\sin x$ 的 $2n+2$ 阶导数为 $(-1)^{n+1}\sin x$ 。
将其自变量换成 $\xi$ ，得到 $(-1)^{n+1}\sin\xi$ 。
套用拉格朗日余项通用公式（此时阶数为 $2n+1$ ，故余项阶数为 $2n+2$ ）：

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

即得： $R_{2n+1}(x) = \frac{(-1)^{n+1}\sin\xi}{(2n+2)!}x^{2n+2}$ （在 $x_0=0$ 处展开）。

⚠️ 易错点提醒：千万不要把公共多项式的最后一项和拉格朗日余项混在一起写！多项式部分长什么样，取决于你展开到几阶；余项永远比多项式多一阶。

展开阶数怎么定#

上下同阶：分母若是 $x^k$ ，分子就展开到 $x^k$ 。
更高阶：若展开到 $x^k$ 后分子仍为 $0$ ，需要再往高展开一阶。

注意
一定一定要注意展开的阶数，还有 $o(x^n)$ 的表示和计算！

利用导数的定义#

若所求极限可凑成某个可导函数的增量，则可利用导数的定义求该极限。

导数.md

复习#

核心问题：

导数的定义是什么？几何意义是什么？
可导、可微、连续三者的关系是什么？
复合函数、隐函数、参数方程分别怎么求导？
三大微分中值定理（罗尔/拉格朗日/柯西）分别在什么场景下使用？
竞赛中“证明存在 $\xi$ 使得等式成立”的构造辅助函数模板有哪些？

Q&A#

导数的定义与几何意义是什么？
可导、可微、连续三者的关系？
基本求导公式与链式法则有哪些易错点？
隐函数与参数方程怎么求导？
三大微分中值定理分别是什么？怎么用？
怎么用泰勒公式证明不等式？
竞赛中构造辅助函数的模板有哪些？
导数应用有哪些？（极值/凹凸/渐近线）

一、导数的定义与几何意义#

核心要点
定义： 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，该极限值为 $f'(x_0)$
几何意义： 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率

常见变形形式（竞赛常考）：

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

注意
使用导数定义求极限时， $\Delta x \to 0$ 必须是双侧逼近（左右导数存在且相等）。若遇到分段函数在分界点求导，必须分别验证左右导数。

可导、可微与连续的关系#

核心结论
可导 $\Longleftrightarrow$ 可微 $\Longrightarrow$ 连续
连续 $\nRightarrow$ 可导（例如 $y = |x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导）。
不可导的常见情况：尖点、垂直切线、间断点。

微分的定义： $dy = f'(x)dx$ ，用线性增量去逼近函数值的增量。

二、求导法则与高阶导数#

基本求导公式（肌肉记忆）#

\begin{aligned} (x^\alpha)' &= \alpha x^{\alpha-1}, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (a^x)' = a^x \ln a, \quad (e^x)' = e^x, \\ (\sin x)' &= \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \sec^2 x, \\ (\arcsin x)' &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}. \end{aligned}

四则运算与链式法则#

乘法法则： $(uv)' = u'v + uv'$
除法法则： $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
链式法则： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

易错点提醒
复合函数求导像“剥洋葱”，千万不能漏乘内层导数。例如 $f(x) = (x - \frac{1}{2}x^2)^2$ ，求导时应为 $2(x - \frac{1}{2}x^2) \cdot (1-x)$ ，绝对不要漏掉最后的 $(1-x)$

隐函数与参数方程求导#

隐函数： 方程两边同时对 $x$ 求导，视 $y$ 为 $y(x)$ ，解出 $y'$
参数方程： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$
反函数： $[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}$

三、微分中值定理🔴#

极限题的尽头往往是中值定理。这部分的难点不在于计算，而在于构造。

1. 罗尔定理#

条件： $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a) = f(b)$ 。
结论： $\exists \xi \in (a,b)$ ，使得 $f'(\xi) = 0$ 。
证明方程根的存在性，或作为推导拉格朗日、柯西定理的基础。

2. 拉格朗日中值定理#

条件： $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导。
结论： $\exists \xi \in (a,b)$ ，使得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$ 。
连接函数值之差与导数。常用于处理数列压缩映射（如证明 $|a_{n+1} - a_n| \le k|a_n - a_{n-1}|$ ）、证明不等式。

3. 柯西中值定理#

条件： $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $g'(x) \neq 0$ 。
结论： $\exists \xi \in (a,b)$ ，使得 $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 。
洛必达法则的理论基础；处理两个函数增量之比的问题。

三大定理的直观理解
罗尔定理：把曲线拉平（两端等高，中间必有切线水平）。
拉格朗日：把曲线倾斜（端点连线的斜率，中间必有切线与之平行）。
柯西：两个函数的增量比值，等于它们在中值点的导数比值。

4. 泰勒公式与不等式证明#

泰勒展开

注意
求极限优先用佩亚诺余项（ $o(x^n)$ 直接扔）。
证明不等式或估计误差时，必须用带拉格朗日余项的泰勒公式，利用 $\xi$ 的范围（如 $0 < \xi < x$ ）对导数进行放缩。

四、洛必达法则#

洛必达法则

CMC实战联系
洛必达法则本质上是柯西中值定理在求极限时的应用。在利用海涅定理（归结原理）求数列极限时，也常结合洛必达法则。

五、竞赛大杀器——构造辅助函数#

CMC中，证明“存在 $\xi$ 使得等式成立”或“证明不等式”，核心在于把结论变形为某个函数的导数。

构造辅助函数万能模板
| 题目特征（要证的结论） | 构造的辅助函数 $F(x)$ |
| :--- | :--- |
| 要证 $f'(\xi) + f(\xi) = 0$ | $F(x) = f(x)e^x$ |
| 要证 $f'(\xi) - f(\xi) = 0$ | $F(x) = f(x)e^{-x}$ |
| 要证 $f'(\xi) + g'(\xi)f(\xi) = 0$ | $F(x) = f(x)e^{g(x)}$ |
| 要证 $f'(\xi) = k$ （常数） | $F(x) = f(x) - kx$ |
| 要证 $f'(\xi) + \frac{1}{\xi}f(\xi) = 0$ | $F(x) = x f(x)$ |
| 要证 $f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ | 直接用拉格朗日中值定理 |
| 双中值 $\xi, \eta$ | 分别在两个区间用拉格朗日/柯西定理，找中间点连接 |

实战步骤：

将结论中的 $\xi$ 换成 $x$ ，化为方程。
通过移项、求导或乘积分因子，凑成某个函数的导数形式。
利用罗尔定理或拉格朗日中值定理得出最终结论。

六、导数的应用#

单调性： $f'(x) > 0$ 递增， $f'(x) < 0$ 递减。
极值： 一阶导数为0（驻点），一阶导数符号变号处为极值点。二阶导 $f''(x_0) < 0$ 极大值， $f''(x_0) > 0$ 极小值。
凹凸性与拐点： $f''(x) > 0$ 下凸（凹向上）， $f''(x) < 0$ 上凸。 $f''(x)$ 变号处为拐点。
渐近线：
- 水平渐近线： $\lim_{x \to \infty} f(x) = C$ 。
- 垂直渐近线： $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ 。
- 斜渐近线： $y = kx + b$ ，其中 $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$ 。

竞赛关联
导数的应用常与不等式证明结合。例如证明 $f(x) \ge g(x)$ ，通常构造 $F(x) = f(x) - g(x)$ ，求导找最小值 $F_{min} \ge 0$ 即可。