晶体管、反相器、逻辑代数基本定理与规则

复习#

核心问题：

逻辑代数里 0/1 表示什么？三种基本逻辑运算（与或非）各是什么？
真值表怎么列？
NMOS 和 PMOS 分别在什么电压下导通？(N1P0)
CMOS 反相器为什么能反相？为什么静态功耗几乎为零？
逻辑代数的基本定律有哪些？三个基本规则（代入、反演、对偶）怎么用？
摩根定律怎么背、怎么用？（重点）

Q&A#

真值表和三种基本逻辑运算怎么列？
NMOS 晶体管什么条件导通？
PMOS 晶体管什么条件导通？
CMOS 反相器如何工作、为什么静态功耗低？
逻辑代数有哪些基本定律？
代入/反演/对偶三个规则怎么用？
摩根定律怎么记和用？

数字逻辑概述#

数字信号：只有高电平、低电平两种状态，用逻辑值 1 和 0 表示。

正逻辑（常用）：高电平 → 1，低电平 → 0
负逻辑：高电平 → 0，低电平 → 1

为什么用数字电路
数字信号只有两个电平，抗干扰能力强（偏离一点仍能判成 0/1）、易于存储与运算，是现代计算机的基础。看到”数字”别当十进制，逻辑代数是二值逻辑，只有 0 和 1。

真值表与三种基本逻辑运算#

真值表：把所有可能的输入取值组合一一列出，对应写出每个组合下的输出，是描述逻辑功能最基本、最直观的方法。

输入 A	输入 B	与 F=A·B	或 F=A+B	非（对A）F=Ā
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

三种基本运算的记忆口诀：

与（AND）：F = A·B，全 1 为 1，有 0 为 0
或（OR）：F = A+B，有 1 为 1，全 0 为 0
非（NOT）：F = Ā，取反

要点

逻辑”与、或、非”是三种基本运算，与或非（NAND/NOR）、异或（XOR）、同或（XNOR）等都是它们的复合。

· 常省略，A·B 写作 AB；+ 表示或，是逻辑加，不是十进制加法。

NMOS 晶体管#

高电平 1 时导通

全称 N 沟道增强型场效应管（MOSFET，Metal-Oxide-Semiconductor）。它是电压控制器件——靠栅源电压 $V_{GS}$ 控制源漏之间是否有导电沟道。

导通条件：栅源电压大于阈值电压，即 $V_{GS} > V_{TN}$ （ $V_{TN}>0$ ，典型约 0.5V~1V）。
行为：栅极加高电平 1 时导通（源漏间近似短路，流经电流）；加低电平 0 时截止（近似开路）。
电路角色：NMOS 导通后能把输出端拉向地（GND，低电平），因此常作为”下拉网络”（下管）。

栅极输入	NMOS 状态	作用
高(1)	导通	将输出拉低
低(0)	截止	不影响输出

PMOS 晶体管#

低电平 0 时导通

P 沟道增强型场效应管，工作原理与 NMOS 对称。

导通条件：栅源电压更负，即 $|V_{GS}| > |V_{TP}|$ （等效为栅极加低电平）。用 $V_{GS} < V_{TP}$ （ $V_{TP}<0$ ）表示。
行为：栅极加低电平 0 时导通；加高电平 1 时截止。
电路角色：PMOS 导通后能把输出端拉向电源 $V_{DD}$ （高电平），因此常作为”上拉网络”（上管）。

栅极输入	PMOS 状态	作用
低(0)	导通	将输出拉高
高(1)	截止	不影响输出

一句话区分
NMOS：高导通、拉低；PMOS：低导通、拉高。 记不住就在 CMOS 反相器里来回推。

CMOS 反相器#

结构：1 个 PMOS（上管，接 $V_{DD}$ ）+ 1 个 NMOS（下管，接地） 串联，两者栅极相连为输入 $V_{in}$ ，漏极相连为输出 $V_{out}$ 。

1
        V_DD
2
         │
3
        ┌┴┐
4
     in─┤P├   PMOS（上）
5
        └┬┘
6
         ├───── out
7
        ┌┴┐
8
     in─┤N├   NMOS（下）
9
        └┬┘
10
         │
11
        GND

反相原理：

输入 $V_{in}$	PMOS（上）	NMOS（下）	输出 $V_{out}$
高 = 1	截止	导通	被 NMOS 拉低 → 低 = 0
低 = 0	导通	截止	被 PMOS 拉高 → 高 = 1

可以看到：输入高 → 输出低，输入低 → 输出高，正好”反相”，所以叫反相器（实现逻辑”非”）。

关键特点

静态功耗几乎为零：两种输入下，总有一支管子截止、另一支导通，从 $V_{DD}$ 到地的直流通路总被切断（叫”互补”CMOS），静态待机时不耗直流电。

输出满幅：输出要么到 0V、要么到 $V_{DD}$ ，摆幅完整、抗干扰。

动态功耗：仅在状态翻转瞬间对负载电容充放电时产生，所以速度越快、频率越高，动态功耗越大。

CMOS 反相器是 CMOS 集成电路最基础的单元逻辑门。

逻辑代数基本定律与公式#

设 $A,B,C$ 为逻辑变量，常用定律如下（成对出现，一个对应”与”，一个对应”或”）：

基本恒等式

名称	与形式	或形式
0-1 律（常量律）	$A\cdot 0=0$ ， $A\cdot 1=A$	$A+0=A$ ， $A+1=1$
重叠律（幂等律）	$A\cdot A=A$	$A+A=A$
互补律（否定律）	$A\cdot\bar A=0$	$A+\bar A=1$
双重否定律	$\bar{\bar A}=\bar{(\bar A)}=A$	同左
交换律	$A\cdot B=B\cdot A$	$A+B=B+A$
结合律	$A(BC)=(AB)C$	$A+(B+C)=(A+B)+C$
分配律	$A(B+C)=AB+AC$	$A+BC=(A+B)(A+C)$
吸收律	$A(A+B)=A$	$A+AB=A$
吸收律（进阶）	$A(\bar A+B)=AB$	$A+\bar AB=A+B$
摩根定律（反演律）	$\bar{AB}=\bar A+\bar B$	$\overline{A+B}=\bar A\bar B$

易混点

分配律的”或”形式不同寻常： $A+BC=(A+B)(A+C)$ 和普通代数不一样（普通代数里 $a+bc\ne(a+b)(a+c)$ ），逻辑代数中成立，别漏。

吸收律是化简常用，代价函数化简时要熟记： $A+AB=A$ （多出的 $AB$ 被 $A$ 吸收）。

逻辑代数基本规则#

有了基本定律，还有三个”万能规则”，可推广和求反：

1. 代入规则#

任何等式，把某一变量用任意逻辑函数式代入，等式仍然成立。

作用：把只对单个变量成立的公式，推广到多变量情形。例如由 $\overline{A+B}=\bar A\bar B$ ，用 $(C+D)$ 代 $B$ 得 $\overline{A+(C+D)}=\bar A\,\overline{(C+D)}$ 。

2. 反演规则（求反函数）#

求 $\bar F$ 时，将 $F$ 中：

· ↔ +（与与或互换）
0 ↔ 1
原变量 ↔ 反变量

注意：运算时保持原来的运算次序；上有公共的非号（大非号）不能一起破坏，必要时先加括号。

例子： $F=AB+\overline{C}D$ ，反演得

\bar F=(\bar A+\bar B)\cdot(C+\bar D).

3. 对偶规则#

求对偶式 $F^d$ ：将 $F$ 中 · ↔ + 互换、0 ↔ 1 互换（变量不取反）。

性质：若两个逻辑式相等，它们的对偶式也相等。可用一条定律推出成对的另一条。

	反演规则	对偶规则
变量取反	要取反	不取反
与/或互换	互换	互换
0/1 互换	互换	互换

摩根定律#

也称反演律 / 德·摩根定律，是逻辑代数最重要的定律之一（化简和与/或互换的桥梁）。

\overline{A\cdot B}=\bar A+\bar B, \qquad \overline{A+B}=\bar A\cdot\bar B.

记忆口诀：“长杠变短杠，符号变化”——
把整个（被取反的）式子拆开，与 ↔ 或 互换，再把每个变量单独取反。

例1： $\overline{AB} = \bar A + \bar B$
例2： $\overline{A+B} = \bar A\;\bar B$
例3（多变量）： $\overline{ABC}=\bar A+\bar B+\bar C$

作用
摩根定律可以把”与的非”换成”非的或”、把”或的非”换成”非的与”，从而在与门 ↔ 或门之间互相转换（比如用 NAND/NOR 组合实现任意逻辑），也是逻辑式化简、CMOS 门电路实现的基础。

本章小结#

数字化：二值逻辑 0/1；基本运算是与（全1为1）、或（有1为1）、非（取反），用真值表表示。
晶体管：NMOS 高导通、拉低；PMOS 低导通、拉高，都由栅源电压控制。
CMOS 反相器：PMOS 上 + NMOS 下，输入反相，静态功耗≈0，输出满幅。
OC 门：集电极开路，外接上拉电阻，可实现线与、电平转换、驱动，需注意上拉取值。
逻辑代数：一套基本定律 + 代入/反演/对偶三规则 + 摩根定律（长杠变短杠、与或互换），是化简和实现的基础。