三角恒等变换 - Entropy

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2 分钟

三角恒等变换

2026-09-30

高等数学

和差角公式#

\begin{aligned} \sin(A \pm B) &= \sin A \cos B \pm \cos A \sin A, \\ \cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \sin A \sin B, \\ \tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}. \end{aligned}

二倍角#

\sin 2x = 2\sin x \cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1.

降幂公式#

\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \tan^2 x = \frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}.

升幂公式#

1 \pm \cos 2x = 2\cos^2 x \;/\; 2\sin^2 x, \qquad 1 \pm \sin 2x = (\sin x \pm \cos x)^2.

半角#

\sin\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}, \qquad \cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.

万能代换（常用于有理式积分）#

令 $t = \tan\frac{x}{2}$ ，则：

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx = \frac{2}{1+t^2}\, dt.

积化和差#

模式识别
看乘积 → 裂项；看加减 → 合并。

\begin{aligned} 2\sin A \cos B &= \sin(A+B) + \sin(A-B), \\ 2\cos A \sin B &= \sin(A+B) - \sin(A-B), \\ 2\cos A \cos B &= \cos(A+B) + \cos(A-B), \\ 2\sin A \sin B &= -\cos(A+B) + \cos(A-B). \end{aligned}

记忆
①同 $\sin/\cos$ （同函数）→ $\cos$ 相加； $\sin$ 在前，中间正、 $\cos$ 在前，中间反；
②异 $\sin\cdot\cos$ → $\sin$ 相加； $\cos$ 则为正、 $\sin$ 则第一项为负。

和差化积#

记忆
$\sin$ 则为 $\sin\cos$ 相乘； $\cos$ 则为 $\cos\cos$ / $\sin\sin$ 相乘；
前面添 $2$ ， $x \pm y$ 除以 $2$ ；
唯有 $\cos - \cos$ 要加负号。

\begin{aligned} \sin x + \sin y &= 2\sin\frac{x+y}{2}\,\cos\frac{x-y}{2}, \\ \sin x - \sin y &= 2\cos\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2}, \\ \cos x + \cos y &= 2\cos\frac{x+y}{2}\,\cos\frac{x-y}{2}, \\ \cos x - \cos y &= -2\sin\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2}. \end{aligned}

辅助角公式（极值 / 化简）#

a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi),

其中

\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \tan\varphi = \frac{b}{a}.

注意
$\varphi$ 的象限由 $(a,b)$ 共同决定，即 $\cos\varphi$ 与 $a$ 同号、 $\sin\varphi$ 与 $b$ 同号，不能只看 $\tan\varphi$ 的值！

三倍角公式#

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x \quad \text{（"三减四三"）}, \qquad \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x \quad \text{（"四三减三"）}.

三角恒等变换

https://entropy.lighterever.com/posts/三角恒等变换/

作者

Lighterever

发布于

2026-09-30

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

极限、函数与连续

两个重要极限

和差角公式

万能代换（常用于有理式积分）

辅助角公式（极值 / 化简）

三倍角公式